CES 函数与替代弹性推导

CES

两个物品：

\(U=(a_{1}^{1/\sigma}x_{1}^+a_{2}^{1/\sigma}x_{2}^{(\sigma-1)/\sigma})^{\sigma/\sigma-1}\) two factor CES function (solow) : \(Q=F(a K^{\rho}+(1-a)L^{\rho})^{v/\rho}\) \(\rho=\frac{\sigma-1}{\sigma}\)

\(\sigma = \frac{d \ln \left( \frac{L}{K} \right)}{d \ln \left( \frac{MP_K}{MP_L} \right)}\) 定义中括号中的部分为 Z，即： \(Z = a K^{\rho} + (1 - a) L^{\rho}\) 因此可以将生产函数重写为： \(Q = Z^{\frac{v}{\rho}}\)

计算MPK和MPL

边际产出 $MP_K$是对 K 的偏导数：

\(MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = \frac{v}{\rho} Z^{\frac{v}{\rho} - 1} \cdot a \rho K^{\rho - 1}\) 简化后得： \(MP_K = v a K^{\rho - 1} Z^{\frac{v}{\rho} - 1}\)

同理，劳动的边际产出 $MP_L$ 为： \(MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = \frac{v}{\rho} Z^{\frac{v}{\rho} - 1} \cdot (1 - a) \rho L^{\rho - 1}\) 简化后得： \(MP_L = v (1 - a) L^{\rho - 1} Z^{\frac{v}{\rho} - 1}\)

计算边际产出之比 

我们关心的是边际产出之比 \(\frac{MP_K}{MP_L}\) ，即： \(\frac{MP_K}{MP_L} = \frac{v a K^{\rho - 1} Z^{\frac{v}{\rho} - 1}}{v (1 - a) L^{\rho - 1} Z^{\frac{v}{\rho} - 1}}\) 可以简化为： \(\frac{MP_K}{MP_L} = \frac{a}{1 - a} \cdot \frac{K^{\rho - 1}}{L^{\rho - 1}}\) 进一步整理为： \(\frac{MP_K}{MP_L} = \frac{a}{1 - a} \left( \frac{K}{L} \right)^{\rho - 1}\)

计算替代弹性 $\sigma$

根据替代弹性的定义： \(\sigma = \frac{d \ln \left( \frac{L}{K} \right)}{d \ln \left( \frac{MP_K}{MP_L} \right)}\) 由于 $\frac{MP_K}{MP_L}$ 的表达式中含有 $\left( \frac{K}{L} \right)^{\rho - 1}$，取对数得到： \(\ln \left( \frac{MP_K}{MP_L} \right) = \ln \left( \frac{a}{1 - a} \right) + (\rho - 1) \ln \left( \frac{K}{L} \right)\) $\ln \left( \frac{MP_K}{MP_L} \right)对\ln \left( \frac{K}{L} \right)$ 求导： \(\frac{d \ln \left( \frac{MP_K}{MP_L} \right)}{d \ln \left( \frac{K}{L} \right)} = \rho - 1\) 因此替代弹性为： \(\sigma = -\frac{1}{\rho - 1}\)

得到 $\rho$ 和 $\sigma$ 的关系

将上式重新整理得到 $\rho$ 的表达式： \(\rho = \frac{\sigma - 1}{\sigma}\)