\(U=(a_{1}^{1/\sigma}x_{1}^+a_{2}^{1/\sigma}x_{2}^{(\sigma-1)/\sigma})^{\sigma/\sigma-1}\) two factor CES function (solow) : \(Q=F(a K^{\rho}+(1-a)L^{\rho})^{v/\rho}\) \(\rho=\frac{\sigma-1}{\sigma}\)
\(\sigma = \frac{d \ln \left( \frac{L}{K} \right)}{d \ln \left( \frac{MP_K}{MP_L} \right)}\) 定义中括号中的部分为 Z，即： \(Z = a K^{\rho} + (1 - a) L^{\rho}\) 因此可以将生产函数重写为： \(Q = Z^{\frac{v}{\rho}}\)
边际产出 $MP_K$是对 K 的偏导数：
\(MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = \frac{v}{\rho} Z^{\frac{v}{\rho} - 1} \cdot a \rho K^{\rho - 1}\) 简化后得： \(MP_K = v a K^{\rho - 1} Z^{\frac{v}{\rho} - 1}\)
同理，劳动的边际产出 $MP_L$ 为： \(MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = \frac{v}{\rho} Z^{\frac{v}{\rho} - 1} \cdot (1 - a) \rho L^{\rho - 1}\) 简化后得： \(MP_L = v (1 - a) L^{\rho - 1} Z^{\frac{v}{\rho} - 1}\)
我们关心的是边际产出之比 \(\frac{MP_K}{MP_L}\) ，即： \(\frac{MP_K}{MP_L} = \frac{v a K^{\rho - 1} Z^{\frac{v}{\rho} - 1}}{v (1 - a) L^{\rho - 1} Z^{\frac{v}{\rho} - 1}}\) 可以简化为： \(\frac{MP_K}{MP_L} = \frac{a}{1 - a} \cdot \frac{K^{\rho - 1}}{L^{\rho - 1}}\) 进一步整理为： \(\frac{MP_K}{MP_L} = \frac{a}{1 - a} \left( \frac{K}{L} \right)^{\rho - 1}\)
根据替代弹性的定义： \(\sigma = \frac{d \ln \left( \frac{L}{K} \right)}{d \ln \left( \frac{MP_K}{MP_L} \right)}\) 由于 $\frac{MP_K}{MP_L}$ 的表达式中含有 $\left( \frac{K}{L} \right)^{\rho - 1}$，取对数得到： \(\ln \left( \frac{MP_K}{MP_L} \right) = \ln \left( \frac{a}{1 - a} \right) + (\rho - 1) \ln \left( \frac{K}{L} \right)\) $\ln \left( \frac{MP_K}{MP_L} \right)对\ln \left( \frac{K}{L} \right)$ 求导： \(\frac{d \ln \left( \frac{MP_K}{MP_L} \right)}{d \ln \left( \frac{K}{L} \right)} = \rho - 1\) 因此替代弹性为： \(\sigma = -\frac{1}{\rho - 1}\)
将上式重新整理得到 $\rho$ 的表达式： \(\rho = \frac{\sigma - 1}{\sigma}\)
]]>太久没更新了，主要原因是懒。平时零零碎碎写的东西，总没有发的信心。既然重更了，那就要提高频率才是（希望能周更…）。这次想聊聊几个最近在用的软件，还有一点小想法。
目录
兼容性：全平台（Web、iOS、Android、macOS、Windows、Linux）
Github 仓库地址：https://github.com/RSSNext/Folo
about 简单说，就是一个 RSS 订阅集合器。
之前想过如何更高效地订阅 Newsletter 和高效获取新闻信息（而不是总看到公众号里的“重要通知！”“突发”和看一半才回过味来的软文）。Folo 基本完全满足了我的需求。
不用太固定信息流。细品之下，墨分五色，焦浓重淡清；看这个世界，也要用不同的窗口，才能有五光十色。另，网页版似乎比 app 版更加好用。
功能简介
- 多源聚合：支持订阅 RSS 源、Newsletter、博客、社交媒体等多种信息来源。
- 内容分类显示：自动分门别类地呈现文章、视频、音频、图片与动态，阅读时更有秩序。
- 跨端同步：在不同设备上登录后，订阅和阅读进度自动同步。
- 开源与自由度：界面简洁、可自建服务器，也可以直接使用官方服务。
- AI 辅助：提供摘要、翻译等可选功能（不过我自己用时关掉了）。
固定订阅源，会进入茧房吗？我以为不会。因为很多订阅源加起来，已经足够丰富，足够碰撞；其中很多本来也不会天天去看。
举隅 通常用 Folo 浏览这些媒体的头条，再决定要不要点进去细看全文。 经常看的（还有很多就不放了，可以自行探索）：
- 新闻类
- 《联合早报》中港台新闻
- 财新网｜少数保持质量的新闻媒体之一
- 奇客的资讯｜科技新闻
- 财联社｜国内市场与政策动态
- 热榜类
- 知乎热榜
- 36 氪 24 小时热榜
- MIT 科技评论（本周热门）
- 一些个人博客
- arXiv 更新，一些期刊
- 豆瓣
- 豆瓣最受欢迎的影评
- 豆瓣最受欢迎的书评
- 豆瓣新书速递
- 各种 newsletter (使用收件箱订阅)
兼容性：iOS
主要功能 很简单的产品思路：对于一个日期，比如 2025 年 10 月 4 日，先把“年”拆开——看看 2024、2023、2022、2021 年的今天都拍过什么照片，再删一删。 再把“月”拆开——看看 9 月、7 月（3 个月前）、4 月（6 个月前）都拍过什么照片，再删一删。 在时间的滚轮上，最后只留住每一个“日”，变成观察自己的最小单位。
使用了一段时间，直观看到自己最近一两年拍了多少截图：有些是读到不错的文字、地图路线、快递单号、股市信息……但其实大部分早就“过期”了。也发现自己常常对着同一个东西拍下好几张几乎一样的照片。信息的冗余在这一刻变得具象。
App 的界面分为三部分，都是围绕这一“天”拍过什么，保留什么展开的，思路非常简单好用。
开发者的其他作品也尝试了，似乎并没有那么需要。最后还是回到 Odays，回顾，删除。
兼容性：iOS、Android、网页版（okjike.com）
感觉圈子比较小，我打个武断的标签，相当一部分活跃用户是产品经理，播客主播，泛 AI 相关的（搞 AI 创业，”vibe coding”）还有一些做金融的。无意冒犯，好像容易误入主理人高发区。
主要就是记录生活瞬间，发点所思所想，创造金句。一方面觉得可以看到不少社会的切面，另一方面觉得这个软件的生态自带一点茧房属性。
目前采取的方法是卸载，以及在 Folo 上订阅了一些即刻圈子（比如“一觉醒来发生了什么”“招聘发布市场”）和用户（比如少楠和李继刚），有时会看一眼。
终于在国庆节假期最后一个中午看完了《平面国》，实际看完只要一两小时，但实践起来却拖延了好几年。第 173 页有一句 “所以，从他身上吸取教训吧：自满就是丑恶和无知，渴望和抱负比蒙昧无力的快乐好得多”——我突然意识到读过这句话的另外一个译法。是在 7 月 15 日的单向历上（不行，打出这几个字的时候，有一种故作文青的尴尬感… 不，我不是！）。这回是这么翻译的：“因此，记住这个教训，自满就是可耻与无知，追求要比盲目且无能的快乐要强”。 最后“追求要比盲目且无能的快乐要强”我还拿来抄在了个人主页上。
说真的，两个译法是有点出入的，于是去找原文。
“Yet mark his perfect self-contentment, and hence learn this lesson, that to be self-contented is to be vile and ignorant, and that to aspire is better than to be blindly and impotently happy. ” -from Flatland. A Romance of Many Dimensions, Edwin A. Abbott 我想，大概也可以翻译成： 请记住他的自满，从中汲取教训——自满意味着卑鄙与愚昧，而对超越的渴望（这里指超越一维/二维/三维… 世界）远胜于盲目而无力的幸福。
对了，这本书是谁写的呢？单向历上写是 作家，埃德温·A. 艾伯特 Edwin A. Abbott ; 我手上这本上海文化出版社出的，鲁东旭译本写的是…两个作者：
一个正方形 /【英】埃德温·A. 艾勃特
看完这本书的读者，应该都能明白其中的小巧思。这种第一人称写作法其实挺常见的，比如福尔摩斯系列。当然，柯南·道尔没有把华生写在作者栏。
这位正方形先生还写了题献：
本书的作者是一位谦卑的平面国居民
他一开始只知道两二维的世界
后来才有幸被引入三维的空间
作者把这本书献给天空之国的臣民们
希望本书能激励你们不断立下更高的志向
去探索四维、五维、甚至六维的秘密
立体人，你们是比作者更高级的物种
愿探索能拓宽你们的想象
并孕育出最少见、最卓越的美德——谦虚
—— 本书作者正方形
对这样一本了不起的书，我却谈了点一叶障目的小事情。这本书的一个亮点是畅想四维空间，另一个我以为就是对维多利亚时期社会的讽刺了。后者我认为写的真好啊，可以会心。
跑去豆瓣看了一眼，两个一星短评让我眼前一黑哈哈，一本 1884 年出版的书，读者却把“女权”帽子戴上又摘掉，又嫌“多维空间”相关内容太过浅显… 有意思。
(p.s.豆瓣评论总是给我意想不到的惊喜。最近看下来总结成两点：其一，读书博主无脑五星、标题决绝（最高级形容词和感叹号）者，恐怕是要带货，把某本刚出的书（不管是再版还是新书）捧上天；其二，一星读者，语气嘲讽冠绝者，可以用于领会平台之生物多样性。这么筛选下来，相当一部分书评是不用看的。)
random sampling: 随机抽样，从总体中选取参与者进入研究的方法
random assignment: 将已入选的参与者分配到不同的实验组别
population quantity, parameter: fixed feature of the population, doesn’t reference sample size, e.g. \(E(Y_{i})\)
sample statistics: differing from sample to sample, e.g. sample mean
population average, mean, mathematical expectation, expectation
\(E(Y_{i})=\int tf_{Y}(t)dt\) sample statistics, estimator: a function of sample data used to estimate parameters
\(\bar{Y}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}Y\)
they are two properties of the sample mean (sample statistics)
LLN (大数定律):
\(N \rightarrow \infty,\bar{Y}\rightarrow^{P}E(Y_{i})\)
unbiasedness of the sample mean (given the sample size):
\(E(\bar{Y})=E(Y_{i})\)
population variance
\(V(Y_{i})=E[(Y_{i}-E[Y_{i}^{2}])]\equiv \sigma^{2}_{Y}\) sample variance
\(S(Y_{i}^{2})=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(Y_{i}-\bar{Y})^{2}\)
\(S(Y_{i}^{2})=\frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}(Y_{i}-\bar{Y})^{2}\) (无偏)
standard deviation: the square root of the population variance
- 标准差 (SD)：衡量的是数据本身的变异程度（无论是总体数据还是样本数据）。它回答的是“个体 typically 偏离平均值多远”
- the sample counterpart, $S(Y_{i})$, which is the squared root of $S(Y_{i})^{2}$
- variance or SD is a descriptive fact about the distribution of $Y_{i}$
- also known as descriptive variance
standard error: the property of the sample statistics, the standard deviation of the sample statistics
- 标准误 (SE)：衡量的是样本统计量（如样本均值 $\bar{Y}$）的变异程度，即抽样分布的离散程度。它回答的是“样本均值（作为总体均值的估计） typically 偏离总体真值多远”，它衡量的是估计的精确度
样本均值的标准误 (SE of the mean) 可以通过样本标准差来估计：$SE=\frac{s}{\sqrt{ n }}$。这意味着，样本量 n 越大，样本均值的波动就越小，我们对总体均值的估计就越精确。
| Standard Deviation | Standard Error | |
|---|---|---|
| Measures variability | Within a sample | Between samples |
| Defines width of a | Distribution of individual values | Sampling distribution |
| Assesses distances between | Data values and sample mean | Sample statistics and population parameter (i.e., accuracy) |
| As sample size increases, there is | No tendency to change | A tendency to decrease. |
SD: 求和均值的距离 SE：求样本均值之间的变异程度
the population variance of a sample statistics, such as the sample mean
\[V[\bar{Y}]=E[(\bar{Y}-E[\bar{Y}])^{2}]\]The standard error: the standard deviation of a statistic like the sample average; the square root of sampling variance
\[SE(\bar{Y})=\frac{\sigma}{\sqrt{ n }}\]2025年9月4日修改
我们应该了解自然，应该认识花鸟鱼虫、星星月亮。不认识自然的人就像孤魂野鬼，不知道自己身处何地。所以每个人都应该是农夫。 （来自《李白来到旧金山》，谭夏阳）
在建站的过程中，我选择了以下技术栈：
静态网站生成器 Markdown
免费的静态网站托管服务
Jekyll 主题，颇为简洁
还得前进
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如果您有任何想法想要分享，欢迎通过邮件与我联系：yungewang@smail.nju.edu.cn