RBC 模型笔记
标题：RBC
创建日期和时间：2024-11-22 14:51
The Basic Neoclassical Model
见 Neoclassical Growth model。
Preferences:
\[\sum_{t=0}^{\infty} b^t U(C_t, L_t), \quad 0<b<1\] \[U_c>0,\ U_{cc}<0\] \[U_l>0,\ U_{ll}<0 \quad (l 表示 leisure)\]endowment:
\[N_t+L_t=1\]technology:
\[Y_t=A_tF(K_t,N_tX_t)\]$X_t$ is the deterministic component of productivity。
模型的增长部分体现在：
The output is used for consumption and investment:
\[Y_t=C_t+I_t\]capital stock:
\[K_{t+1}=I_t+(1-\delta)K_t\]initial condition:
\[K_0>0,\ X_0>0,\ A_0>0\]Transformed utility function:
\[\sum_{t=0}^{\infty}\beta^t U(c_t,L_t)\]constraints:
\[N_t=1-L_t\]per efficient worker production:
\[y_t=A_tF(k_t,N_t)\] \[k_t=\frac{K_t}{X_t},\quad \gamma k_{t+1}=\frac{X_{t+1}}{X_t}\frac{K_{t+1}}{X_{t+1}}=i_t+(1-\delta)k_t\] \[y_t=c_t+i_t\]Restrictions: technology
似乎是哈罗德中性。
\[Y_t=A_tF(K_t,N_tX_t)\] \[y_t=A_tk_t^{\alpha}N_t^{1-\alpha}\]TFP process:
\[\log A_t=\rho\log A_{t-1}+\epsilon_t\]Restrictions: preferences
Observations: preferences need to be consistent with long-run growth in macro aggregates, but no trend in hours per worker.
CRRA:
\[\frac{1}{1-\sigma}\left([C_t v(L_t)]^{1-\sigma}-1\right)\] \[\log C_t+\log v(L_t)\]我们使用：
\[v(L)=\exp\left(\frac{\theta}{1-\eta}(L^{1-\eta}-1)\right)\] \[u(c_t,L_t)=\log(c_t)+\frac{\theta}{1-\eta}(L_t^{1-\eta}-1)\]Decentralized Equilibrium: households
最优化问题：
\[E\sum_{t=0}^{\infty}\beta^t\left[\log(c_t)+\frac{\theta}{1-\eta}(L_t^{1-\eta}-1)\right]\]budget constraint:
\[c_t+\gamma k_{t+1}-(1-\delta)k_t+\gamma b_{t+1} =r_t b_t+w_t(1-L_t)+r_t^k k_t+\Pi_t\]消费 + 投资 + $b_{t+1}$（t 期买入、t+1 期兑现的 bonds）。
$r_t$ 连本带息，$w_t$ 不考虑效率的工资，$1-L_t=N_t$ 为工作时间，$r_t^k k_t$ 是租出资本收入，$\Pi_t$ 为企业利润分红（$\pi_tX_t$）。
Lagrangian:
\[\mathcal{L}=E\left\{\sum_{t=0}^{\infty}\beta^t\left[\log(c_t)+\frac{\theta}{1-\eta}(L_t^{1-\eta}-1)\right] + r_t b_t+w_t(1-L_t)+r_t^k k_t+\Pi_t-(c_t+\gamma k_{t+1}-(1-\delta)k_t+\gamma b_{t+1})\right\}\]FOCs:
\[\{c_t\}:\ \frac{1}{c_t}=\lambda_t \tag{1}\] \[\{L_t\}:\ \theta L_t^{-\eta}-\lambda_t w_t=0 \tag{2}\]取对数：
\[\log \theta-\eta\log L_t=\log \lambda_t+\log w_t\]两边同时求导：
\[-\eta\, d\log L_t=d\log w_t\] \[\frac{d\log L_t}{d\log w_t}=-\frac{1}{\eta}\] \[\frac{dL_t/L_t}{dw_t/w_t}=-\frac{1}{\eta}\]回顾弹性：这就是 labor supply elasticity。
注：解方程时先不要管 $E$，当下标出现 $t+1$ 时再加上期望算子。
references
附注
p 8
- government spending 的比较： 统一的货币和财政政策，但维度不同 中国 （财政部长的发言）如何化债 地方（顺周期？）和中央的差别（逆周期？财政刺激的方式？） 什么是城投债？ 美国 州政府 联邦 欧洲： 欧盟没有国与国之间的 government transfer
p 11
- 效率工资
- 国企的逆周期操作
- 可以看上市企业的数据比较其中国有控股和私营企业
- employment 的数据：中国存在农民工进城现象但是 只统计城镇登记失业率 所以：怎么算 unemployment? p 17 联系 bgp (见 goodnotes)